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原題
寫出小弟的猜想，歡迎討論，原文PO於今年九月十八日，由於msn好像沒有直接檢查上一頁網誌的方式，所以可依網誌類別找出小小邏輯專欄，即可按其上一頁看原題目...
小弟的猜想。以下不確定為猜想部份會以紅色字体表明。
先參考下列數列：
３，４，５
５，１２，１３
７，２４，２５
９，４０，４１
１１，６０，６１
１３，８４，８５
１５，１１２，１１３
１７，１４４，１４５
１９，１８０，１８１
２１，２２０，２２１
２３，２６４，２６５
２５，３１２，３１３
２７，３６４，３６５
２９，４２０，４２１
．．．
將其令為（ａ，ｂ，ｃ），則我們可發現，ｃ－ｂ＝１，且ｃ－ａ＝（ｍ^２）．（２^ｎ）＝ｋ，ｍ、ｎ為奇數，並依大小依序出現，小弟有檢測到很大的數字，發現皆還吻合，因此我就猜想，是不是所有畢氏組都可表為ｃ－ｂ為（ｍ^２）．（２^ｎ），ｍ、ｎ為奇數，且ｃ－ａ為奇數平方，閒來無事，進而猜想若ｃ－ｂ為（ｍ^２）．（２^ｎ），ｍ、ｎ為奇數，當ｍ、ｎ為固定值時，可視此為同一類組，而其組距猜想為ｍ．２^〔（ｎ＋３）／２〕，舉例如下：
當ｍ＝１，ｎ＝１，ｋ＝２，組距為４
當ｍ＝１，ｎ＝３，ｋ＝８，組距為８
當ｍ＝３，ｎ＝１，ｋ＝１８，組距為１２
當ｍ＝１，ｎ＝５，ｋ＝３２，組距為１６
當ｍ＝５，ｎ＝１，ｋ＝５０，組距為２０
當ｍ＝３，ｎ＝３，ｋ＝７２，組距為２４
．．．
以ｍ＝５，ｎ＝１，ｋ＝５０，組距為２０為例，可發現（１１，６０，６１）之相同組（６０，１１，６１）為一解，將組距代回
則以下皆為ｃ－ｂ＝ｋ之同組
６０，１１，６１
８０，ｘ－５０，ｘ
．．．
解出ｘ，即可知ｃ－ｂ＝５０之第二小解，小弟猜想其符合下列規則，即若（ａ，ｂ，ｃ）已知，且ｃ－ｂ＝ｋ，則ｃ為（ａ^２＋ｋ^２）／２＊ｋ，代回上式可知ｘ＝（８０^２＋５０^２）／１００，ｘ為８９，故（８０，３９，８９）為另一符合條件之解，且可發現ｂ愈來愈大，因此依同理可知必有一值恰為大於ａ之整數值ｂ，如上題為
先參考下列數列：
３，４，５
５，１２，１３
７，２４，２５
９，４０，４１
１１，６０，６１
１３，８４，８５
１５，１１２，１１３
１７，１４４，１４５
１９，１８０，１８１
２１，２２０，２２１
２３，２６４，２６５
２５，３１２，３１３
２７，３６４，３６５
２９，４２０，４２１
．．．
將其令為（ａ，ｂ，ｃ），則我們可發現，ｃ－ｂ＝１，且ｃ－ａ＝（ｍ^２）．（２^ｎ）＝ｋ，ｍ、ｎ為奇數，並依大小依序出現，小弟有檢測到很大的數字，發現皆還吻合，因此我就猜想，是不是所有畢氏組都可表為ｃ－ｂ為（ｍ^２）．（２^ｎ），ｍ、ｎ為奇數，且ｃ－ａ為奇數平方，閒來無事，進而猜想若ｃ－ｂ為（ｍ^２）．（２^ｎ），ｍ、ｎ為奇數，當ｍ、ｎ為固定值時，可視此為同一類組，而其組距猜想為ｍ．２^〔（ｎ＋３）／２〕，舉例如下：
當ｍ＝１，ｎ＝１，ｋ＝２，組距為４
當ｍ＝１，ｎ＝３，ｋ＝８，組距為８
當ｍ＝３，ｎ＝１，ｋ＝１８，組距為１２
當ｍ＝１，ｎ＝５，ｋ＝３２，組距為１６
當ｍ＝５，ｎ＝１，ｋ＝５０，組距為２０
當ｍ＝３，ｎ＝３，ｋ＝７２，組距為２４
．．．
以ｍ＝５，ｎ＝１，ｋ＝５０，組距為２０為例，可發現（１１，６０，６１）之相同組（６０，１１，６１）為一解，將組距代回
則以下皆為ｃ－ｂ＝ｋ之同組
６０，１１，６１
８０，ｘ－５０，ｘ
．．．
解出ｘ，即可知ｃ－ｂ＝５０之第二小解，小弟猜想其符合下列規則，即若（ａ，ｂ，ｃ）已知，且ｃ－ｂ＝ｋ，則ｃ為（ａ^２＋ｋ^２）／２＊ｋ，代回上式可知ｘ＝（８０^２＋５０^２）／１００，ｘ為８９，故（８０，３９，８９）為另一符合條件之解，且可發現ｂ愈來愈大，因此依同理可知必有一值恰為大於ａ之整數值ｂ，如上題為
６０，１１，６１
８０，３９，８９
１００，７５，１２５
１２０，１１９，１６９
１４０，１７１，２２１
１６０，２３１，２８１
１８０，２９９，３４９
２００，３７５，４２５
２２０，４５９，５０９
２４０，５５１，６０１
２６０，６５１，７０１
２８０，７５９，８０９
３００，８７５，９２５
．．．
故可知（ａ，ｂ，ｃ）之畢氏組，若ｃ－ｂ為５０時，且ａ＜ｂ＜ｃ，則其最小解為（１４０，１７１，２２１）
值得注意的事，寫通解時可發現每隔ｍ個，則會出現三數皆被ｍ整除，故通解需再扣掉ｍ的倍數。
以同樣方法找出之前所提的問題，並寫出小弟認為的通解：
１．ｍ＝５，ｎ＝７，此時ｋ為３２００，且組距為１６０，
而ｋ為３２００時之最小相同組為（３２８０，８１，３２８１）。
找出上述最小相同組沒別方法，
因為它會依ｋ值大小依序出現在
２２０，４５９，５０９
２４０，５５１，６０１
２６０，６５１，７０１
２８０，７５９，８０９
３００，８７５，９２５
．．．
故可知（ａ，ｂ，ｃ）之畢氏組，若ｃ－ｂ為５０時，且ａ＜ｂ＜ｃ，則其最小解為（１４０，１７１，２２１）
值得注意的事，寫通解時可發現每隔ｍ個，則會出現三數皆被ｍ整除，故通解需再扣掉ｍ的倍數。
以同樣方法找出之前所提的問題，並寫出小弟認為的通解：
１．ｍ＝５，ｎ＝７，此時ｋ為３２００，且組距為１６０，
而ｋ為３２００時之最小相同組為（３２８０，８１，３２８１）。
找出上述最小相同組沒別方法，
因為它會依ｋ值大小依序出現在
（３，４，５）（５，１２，１３）的數列中，
再先將ａ，ｂ值調換一下而已．．．
再來依小弟猜想可知第二小解為（３４４０．２４９．３４４９）
同理可找出
再先將ａ，ｂ值調換一下而已．．．
再來依小弟猜想可知第二小解為（３４４０．２４９．３４４９）
同理可找出
（７７６０，７８０９，１１００９）為符合題意之最小解
至於通解表示至少有兩種，上述皆提過，小弟寫出其中一種表達式
（ａ，ｂ，ｃ）其中
ａ＝７７６０＋１６０ｋ
ｂ＝ｃ－３２００
ｃ＝（ａ^２＋１０２４００００）／６４００，
至於通解表示至少有兩種，上述皆提過，小弟寫出其中一種表達式
（ａ，ｂ，ｃ）其中
ａ＝７７６０＋１６０ｋ
ｂ＝ｃ－３２００
ｃ＝（ａ^２＋１０２４００００）／６４００，
ｋ為除以５不為餘數４的正整數
２．（ａ，ｂ，ｃ）其中
ａ＝２４２３６８＋８９６ｋ
ｂ＝ｃ－１００３５２
ｃ＝（ａ^２＋１００７０５２３９０４）／２００７０４，
２．（ａ，ｂ，ｃ）其中
ａ＝２４２３６８＋８９６ｋ
ｂ＝ｃ－１００３５２
ｃ＝（ａ^２＋１００７０５２３９０４）／２００７０４，
ｋ為除以７不為餘數６的正整數
不知有沒有想漏，煩請各位大大檢查看看小弟的推理囉 ^_^
不知有沒有想漏，煩請各位大大檢查看看小弟的推理囉 ^_^
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