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原題
以下將Ｎ＝９９ｘ＋１００ｙ＋１０１ｚ之正整數解表為（ｘ，ｙ，ｚ）
１．首先先證明ｙ最大的正整數解為２。
因為題意為只有一組（ｘ，ｙ，ｚ）之正整數解，
故若ｙ大於２，則因為
９９ｘ＋１００ｙ＋１０１ｚ
故若ｙ大於２，則因為
９９ｘ＋１００ｙ＋１０１ｚ
＝９９（ｘ＋１）＋１００（ｙ－２）＋１０１（ｚ＋１）
故可知此時至少存在兩組解
故可知此時至少存在兩組解
（ｘ，ｙ，ｚ）＝（ｘ＋１，ｙ－２，ｚ＋１），
矛盾，故ｙ小於等於２。
矛盾，故ｙ小於等於２。
２．當ｙ＝２時，分三種情況考慮
ｘ＝ｚ，ｘ＞ｚ，ｘ＜ｚ
當ｘ＝ｚ時，若ｘ，ｚ皆不為１，則
（ｘ，２，ｘ）＝（１，２ｘ，１）
矛盾，故可能解為（１，２，１）
矛盾，故可能解為（１，２，１）
當ｘ＞ｚ時，若ｚ不為１，則
（ｘ，２，ｚ）＝（１＋ｘ－ｚ，２ｚ，１）
矛盾，故可能解為（ｘ，２，１）
矛盾，故可能解為（ｘ，２，１）
當ｘ＜ｚ時，若ｘ不為１，則
（ｘ，２，ｚ）＝（１，２ｘ，１＋ｚ－ｘ）
矛盾，故可能解為（１，２，ｚ）
矛盾，故可能解為（１，２，ｚ）
３．當ｙ＝１時，若ｘ，ｚ皆不為１，則
（ｘ，１，ｚ）＝（ｘ－１，３，ｚ－１）
矛盾，故（１，１，ｚ），（ｘ，１，１）為可能解。
矛盾，故（１，１，ｚ），（ｘ，１，１）為可能解。
綜上所述有四種可能出現極大的情況
情況一：（ｘ，２，１）
可利用輾轉相除法先找出一組整數解，
即找出是否有（ｘ，２，１）＝（ｘ－ｍ，１，ｎ）
若存在，即與題意矛盾，又不需考慮ｙ值固定的同解，
因為９９與１０１互質，故在其中一值為１時，
即找出是否有（ｘ，２，１）＝（ｘ－ｍ，１，ｎ）
若存在，即與題意矛盾，又不需考慮ｙ值固定的同解，
因為９９與１０１互質，故在其中一值為１時，
另一值是不可能增減為同解的。
因此ｙ只能為１或２，所以若有二組解，
因此ｙ只能為１或２，所以若有二組解，
其中一解必為ｙ＝１，另一解必為ｙ＝２
此時可令
此時可令
９９ｘ＋２００＋１０１
＝９９（ｘ－ｍ）＋１００＋１０１ｎ
經整理可得９９（－ｍ－１）＋１０１（ｎ－１）＝１
９９ａ＋１０１ｂ＝１
其中ａ＝－５１＋１０１ｔ
ｂ＝５０－９９ｔ，ｔ為整數
代回上式可得（ｘ，２，１）＝（ｘ－５０，１，５１）
故ｘ大於５０時皆有多解，
此時極大值出現在（５０，２，１），Ｎ為５２５１
情況二：（１，２，ｚ）
方法同上式，（１，２，ｚ）＝（５２，１，ｚ－４９）
故ｚ大於４９時皆有多解，
方法同上式，（１，２，ｚ）＝（５２，１，ｚ－４９）
故ｚ大於４９時皆有多解，
此時極大值出現在（１，２，４９），Ｎ為５２４８
情況三：（１，１，ｚ）
方法同上式，（１，１，ｚ）＝（５１，２，ｚ－５０）
故ｚ大於５０時皆有多解，
方法同上式，（１，１，ｚ）＝（５１，２，ｚ－５０）
故ｚ大於５０時皆有多解，
此時極大值出現在（１，１，５０），Ｎ為５２４９
情況四：（ｘ，１，１）
方法同上式，（ｘ，１，１）＝（ｘ－５１，２，５０）
故ｘ大於５１時皆有多解，
方法同上式，（ｘ，１，１）＝（ｘ－５１，２，５０）
故ｘ大於５１時皆有多解，
此時極大值出現在（５１，１，１），Ｎ為５２５０
由情況一二三四，可知Ｎ為５２５１
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