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原題
先假設有一正整數Ｎ使上式為整數，其值為Ｚ
若Ｎ為質數，
則上式可為１＋１／２＋１／３＋．．．＋１／Ｎ＝Ｚ
１＋１／２＋１／３＋．．．＋１／（Ｎ－１）＝Ｚ－１／Ｎ
令上式左式之最簡分數為Ａ／Ｂ
所以Ａ／Ｂ＝Ｚ－１／Ｎ
ＮＡ／Ｂ＝ＮＺ－１
由於Ｎ，Ｂ互質，故ＮＡ／Ｂ不為整數，然右式為整數，故矛盾，故Ｎ為質數時，命題必不成立。
若Ｎ不為質數，
假設其值介於Ｐ（ａ）與Ｐ（ｂ）之間，ａ＜ｂ
其中Ｐ（ｘ）表第ｘ個質數，
其中Ｐ（ｘ）表第ｘ個質數，
Ｐ（１）＝２，Ｐ（２）＝３，Ｐ（３）＝５，．．．
所以題意１＋１／２＋１／３＋．．．＋１／Ｎ＝Ｚ
可整理成１＋１／４＋１／６＋１／８＋．．．＋１／Ｎ＝Ｚ－１／２－１／３－１／５－１／７－．．．－１／Ｐ（ａ－１）
左式令其最簡分數為Ｃ／Ｄ，
所以題意１＋１／２＋１／３＋．．．＋１／Ｎ＝Ｚ
可整理成１＋１／４＋１／６＋１／８＋．．．＋１／Ｎ＝Ｚ－１／２－１／３－１／５－１／７－．．．－１／Ｐ（ａ－１）
左式令其最簡分數為Ｃ／Ｄ，
且２＊３＊５＊７＊．．．＊Ｐ（ａ－１）＝Ｈ
兩邊同乘Ｈ，為ＨＣ／Ｄ＝ＨＺ－Ｈ（１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋．．．＋１／Ｐ（ａ－１））
右式為一整數，然左式中的Ｄ因為含有Ｐ（ａ）的質因數，故與Ｈ約分下必至少存在，所以左式恒不為整數，矛盾，故Ｎ不為質數時，命題亦不成立。
綜上，故命題恒不成立，故此式非為正整數。
舉一例解釋Ｎ不為質數之情形：
當Ｎ不為質數時，可令Ｎ為２０（這個數字是隨便取的，只要非質數即可），可看出１７＜１９＜２０＜２３
因此題意可為１＋１／４＋１／６＋１／８＋１／９＋１／１０＋１／１２＋１／１４＋１／１５＋１／１６＋１／１８＋１／１９＋１／２０＝Ｚ－１／２－１／３－１／５－１／７－１／１１－１／１３－１／１７
兩邊同乘２＊３＊５＊７＊１１＊１３＊１７令左式最簡分數為Ｃ／Ｄ，此時右式為為一整數，但左式之Ｄ有１９之質因數，故整理後，分母至少有一質因數１９，亦即左式必不為整數，故得證。
再加一句話證明分母的１９不會在約分Ｃ／Ｄ時消去，
亦即Ｄ必有１９之質因數，Ｃ必沒有。
１＋１／４＋１／６＋１／８＋１／９＋１／１０＋１／１２＋１／１４＋１／１５＋１／１６＋１／１８＋１／１９＋１／２０
＝（１＋１／４＋１／６＋１／８＋１／９＋１／１０＋１／１２＋１／１４＋１／１５＋１／１６＋１／１８＋１／２０）＋１／１９
＝Ｅ／Ｆ＋１／１９，其中（Ｅ，Ｆ）互質，且（Ｆ，１９）＝１
＝（１９Ｅ＋Ｆ）／１９Ｆ
１＋１／４＋１／６＋１／８＋１／９＋１／１０＋１／１２＋１／１４＋１／１５＋１／１６＋１／１８＋１／１９＋１／２０
＝（１＋１／４＋１／６＋１／８＋１／９＋１／１０＋１／１２＋１／１４＋１／１５＋１／１６＋１／１８＋１／２０）＋１／１９
＝Ｅ／Ｆ＋１／１９，其中（Ｅ，Ｆ）互質，且（Ｆ，１９）＝１
＝（１９Ｅ＋Ｆ）／１９Ｆ
上式分子恒不被１９整除，故此值已為最簡，分母必有１９，分子必無。
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