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原題
７７５２３４１／６６７３３４ 為唯一解
http://img88.imageshack.us/img88/8388/0017ky.jpg
如圖，文中將被除數以下的數字分別以Ａ至Ｓ表示，圖方便Ｐ君解說。
如圖，文中將被除數以下的數字分別以Ａ至Ｓ表示，圖方便Ｐ君解說。
先講解兩個基本常識，就用原題所舉例子吧！
０．１３３３３３３３３３３３３．．．．，為３一位數循環
０．１２１２１２１２１２１２１．．．．，為１２二位數循環
０．１１１３１２３１２３１２３１２．．，為３１２三位數循環
０．１２３４５６２３４５６２３４５６．，為２３４５６五位數循環
０．１２１２１２１２１２１２１．．．．，為１２二位數循環
０．１１１３１２３１２３１２３１２．．，為３１２三位數循環
０．１２３４５６２３４５６２３４５６．，為２３４５６五位數循環
原題只講解什麼是小數循環，
但是並沒有交待要如何去化成分數，以下為方法
ａ． ０．１３３３３３３３３３３３３．．．．
＝（１３－１）／９０
＝（１３－１）／９０
ｂ． ０．１２１２１２１２１２１２１．．．．
＝１２／９９
ｃ． ０．１１１３１２３１２３１２３１２．．
＝（１１１３１２－１１１）／９９９０００
＝（１１１３１２－１１１）／９９９０００
ｄ． ０．１２３４５６２３４５６２３４５６．
＝（１２３４５６－１）／９９９９９０
＝（１２３４５６－１）／９９９９９０
方法即從小數點數起至第一次循環結束，再分別計算循環前有幾位數字，循環節有幾位數字，循環節的位數以９代之，循環前的位數以０代之，此當分母。分子即為小數點數起至第一次循環結束，減去循環前之數字，如例。證法可用無窮等比級數和去求即可，此即略述。
第二個基本常識是在一個整數世界的除法運算中，通常不定義餘數為負的情況（除非是通解），再者題意已指出每格皆為０～９，亦可佐證此乃考慮餘數不為負之解，又兩式相減時，如圖中之Ｃ－Ｄ＝Ｅ中，可肯定的是Ｄ為除數的整數倍，且Ｅ小於除數。
有了此二個基本常識後，即可開始從圖中找線索了，這也是數學奧秘迷人可愛之處。
想法流程
０１．要九位數小數循環，且循環節前為一位數，
故化成分數時其分母必為９９９９９９９９９０
由題意可知為七位數除以六位數，
故若答案存在，分母必可約分成六位數，
因此必為９９９９９９９９９０之六位數因數。
０２．９９９９９９９９９０＝２＊３^４＊５＊３７＊３３３６６７
其六位數因數只有３３３６６７和６６７３３４
０３．Ｃ和Ｇ數值之首位必為１，
０１．要九位數小數循環，且循環節前為一位數，
故化成分數時其分母必為９９９９９９９９９０
由題意可知為七位數除以六位數，
故若答案存在，分母必可約分成六位數，
因此必為９９９９９９９９９０之六位數因數。
０２．９９９９９９９９９０＝２＊３^４＊５＊３７＊３３３６６７
其六位數因數只有３３３６６７和６６７３３４
０３．Ｃ和Ｇ數值之首位必為１，
因為若其不為１，則Ｄ和Ｈ之位數必與Ｃ、Ｇ相同，與題意不合。
０４．若除數為３３３６６７，
０４．若除數為３３３６６７，
則Ｃ之值為１００００００～１００１０００
（因為若Ｃ為１００１００１以上，
（因為若Ｃ為１００１００１以上，
則Ｄ之位數必為七位數，與題意不合）
則Ｄ之值必為６６７３３４
則Ｅ之值為３３２６６６０～３３３６６６０
則Ｆ之值必為３００３００３
則Ｇ之值首位為３，與３．所推論Ｇ之首位必為１矛盾，
則Ｄ之值必為６６７３３４
則Ｅ之值為３３２６６６０～３３３６６６０
則Ｆ之值必為３００３００３
則Ｇ之值首位為３，與３．所推論Ｇ之首位必為１矛盾，
故４．假設錯誤。
０５．由４，所以除數為６６７３３４
所以Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｒ之值為６６７３３４
０６．Ｑ之末四位為００００，故與Ｒ之相減之末四數為２６６６
（即Ｓ末四位為２６６６）
０７．所以Ｇ之值為１０２６６６０或１１２６６６０
０５．由４，所以除數為６６７３３４
所以Ｂ，Ｄ，Ｈ，Ｒ之值為６６７３３４
０６．Ｑ之末四位為００００，故與Ｒ之相減之末四數為２６６６
（即Ｓ末四位為２６６６）
０７．所以Ｇ之值為１０２６６６０或１１２６６６０
或１２２６６６０或１３２６６６０
（因為其為九位數循環，故Ｇ除了空降的末位０外，
（因為其為九位數循環，故Ｇ除了空降的末位０外，
再來的四位數應與Ｓ末四位相同。
且Ｇ之值需介於１００００００～１３３４６６７，
且Ｇ之值需介於１００００００～１３３４６６７，
故只有以上四種可能）
０８．Ｇ之值分別試算，利用Ｏ值－Ｐ值需小於１００的小小線索。
０９．當Ｇ為１０２６６６０時
則Ｈ為６６７３３４
則Ｉ為３５９３２６０
則Ｊ為３３３６６７０
則Ｋ為２５６５９００
則Ｌ為２００２００２
則Ｍ為５６３８９８０
則Ｎ為５３３８６７２
則Ｏ為３００３０８０
則Ｐ為２６６９３３６
因為Ｏ－Ｐ大於１００，故與題意矛盾，故Ｇ非此值。
１０．當Ｇ為１１２６６６０時
則Ｈ為６６７３３４
則Ｉ為４５９３２６０
則Ｊ為４００４００４
則Ｋ為５８９２５６０
則Ｌ為５３３８６７２
則Ｍ為５５３８８８０
則Ｎ為５３３８６７２
則Ｏ為２００２０８０
則Ｐ為２００２００２
因為Ｏ－Ｐ小於１００，成立。
１１．當Ｇ為１２２６６６０時
則Ｈ為６６７３３４
則Ｉ為５５９３２６０
則Ｊ為５３３８６７２
則Ｋ為２５４５８８０
則Ｌ為２００２００２
則Ｍ為５４３８７８０
則Ｎ為５３３８６７２
則Ｏ為１００１０８０
則Ｐ為６６７３３４
因為Ｐ之位數不為七位數，故與題意矛盾，故Ｇ非此值。
１２．當Ｇ為１３２６６６０時
則Ｈ為６６７３３４
則Ｉ為６５９３２６０
則Ｊ為６００６００６
則Ｋ為５８７２５４０
則Ｌ為５３３８６７２
則Ｍ為５３３８６８０
則Ｎ為５３３８６７２
則Ｏ為８
因為Ｏ之位數不為七位數，故與題意矛盾，故Ｇ非此值。
１３．由０９～１２，故Ｇ為１１２６６６０
１４．由１０．ＨＪＬＮＰ之值可判斷其對應小數值為１６８８３，
故九位數循環小數節為１６８８３０００１
１５．循環節小數前之小數為０～９
１６．經試算可知只可為１或６，
０８．Ｇ之值分別試算，利用Ｏ值－Ｐ值需小於１００的小小線索。
０９．當Ｇ為１０２６６６０時
則Ｈ為６６７３３４
則Ｉ為３５９３２６０
則Ｊ為３３３６６７０
則Ｋ為２５６５９００
則Ｌ為２００２００２
則Ｍ為５６３８９８０
則Ｎ為５３３８６７２
則Ｏ為３００３０８０
則Ｐ為２６６９３３６
因為Ｏ－Ｐ大於１００，故與題意矛盾，故Ｇ非此值。
１０．當Ｇ為１１２６６６０時
則Ｈ為６６７３３４
則Ｉ為４５９３２６０
則Ｊ為４００４００４
則Ｋ為５８９２５６０
則Ｌ為５３３８６７２
則Ｍ為５５３８８８０
則Ｎ為５３３８６７２
則Ｏ為２００２０８０
則Ｐ為２００２００２
因為Ｏ－Ｐ小於１００，成立。
１１．當Ｇ為１２２６６６０時
則Ｈ為６６７３３４
則Ｉ為５５９３２６０
則Ｊ為５３３８６７２
則Ｋ為２５４５８８０
則Ｌ為２００２００２
則Ｍ為５４３８７８０
則Ｎ為５３３８６７２
則Ｏ為１００１０８０
則Ｐ為６６７３３４
因為Ｐ之位數不為七位數，故與題意矛盾，故Ｇ非此值。
１２．當Ｇ為１３２６６６０時
則Ｈ為６６７３３４
則Ｉ為６５９３２６０
則Ｊ為６００６００６
則Ｋ為５８７２５４０
則Ｌ為５３３８６７２
則Ｍ為５３３８６８０
則Ｎ為５３３８６７２
則Ｏ為８
因為Ｏ之位數不為七位數，故與題意矛盾，故Ｇ非此值。
１３．由０９～１２，故Ｇ為１１２６６６０
１４．由１０．ＨＪＬＮＰ之值可判斷其對應小數值為１６８８３，
故九位數循環小數節為１６８８３０００１
１５．循環節小數前之小數為０～９
１６．經試算可知只可為１或６，
代回各為７４１８６７４或７７５２３４１
１７．７４１８６７４代回時不滿足格式。
１８．故７７５２３４１為唯一解。
１７．７４１８６７４代回時不滿足格式。
１８．故７７５２３４１為唯一解。
～愛上數學，其實一點也不難～
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