小小邏輯列車-猜數字解答－piny的部落格

原題

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這題算是經典難題，也難怪斷背山能獲得那麼多奧斯卡提名．．．

先來小常識暖身，若Ｎ之質因數分解為ｐ^ａ．ｑ^ｂ．ｒ^ｃ，則Ｎ之正因數個數的公式為（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１），公式的證法可以問鄰居還在唸高中的小弟弟小妹妹，相信他們會很樂意分享這個經典到不行的證法，在此恕小弟不在此贅述囉，以下直接運用公式結果來推理Ｐ君和Ｙ君精彩到不行的對話。

（ａ）Ｙ君：我猜不出來Ｎ是多少？
　　　可知Ｙ君所知道的答案可能有二個以上。
（ｂ）Ｐ君：我也猜不出來，但我知道Ｎ是否為偶數。
　　　可知Ｐ君所知道的答案亦是二個以上，

　　　且其可能值為全奇數或全偶數。
（ｃ）Ｙ君：哈！我現在知道了。
　　　Ｙ君根據（ｂ）知道了唯一答案了。
（ｄ）Ｐ君：嘻！我也知道了。
　　　耍笨的Ｐ君也知道了。

再來先從正因數個數判斷起，我們可以很輕易地看出，１０～９９之正整數正因數個數最少為２個，最多為１２個，以下分別討論囉！在此將其正因數個數令為Ａ。另外，由正因數個數去反推質因數分解的情況時，要注意需將Ａ分成全部大於等於２的值乘積呦！

Ａ＝２，２＝２，即質數的組合皆是，有１１，１３，１７，１９，２３，２９，３１，３７，４１，４３，４７，５３，５９，６１，６７，７１，７３，７９，８３，８９，９７，共２１個。全為奇數，符合（ｂ）。

Ａ＝３，３＝３，即質數之平方皆是，有２５，４９，共２個。全為奇數，符合（ｂ）。

Ａ＝４，４＝４＝２＊２，即質數之三次方或兩質數相乘皆是，有１０，１４，１５，２１，２２，２６，２７，３３，３４，３５，３８，３９，４６，５１，５５，５７，５８，６２，６５，６９，７４，７７，８２，８５，８６，８７，９１，９３，９４，９５，共３０個。有奇數偶數夾雜，不符合（ｂ）。

Ａ＝５，５＝５，即質數之四次方皆是，有１６，８１，共２個。有奇數偶數夾雜，不符合（ｂ）。

Ａ＝６，６＝６＝２＊３，即質數之五次方或某質數乘上另一質數之平方皆是，有１２，１８，２０，２８，３２，４４，４５，５０，５２，６３，６８，７５，７６，９２，９８，９９，共１６個。有奇數偶數夾雜，不符合（ｂ）。

Ａ＝７，７＝７，即質數之六次方皆是，有６４，共１個。唯一值，不符合（ｂ）。

Ａ＝８，８＝８＝２＊４＝２＊２＊２，即質數之七次方（２^７已大於９９，以下不考慮單一質數之高次方）或某質數乘上另一質數之三次方或三質數相乘皆是，有２４，３０，４０，４２，５４，５６，６６，７０，７８，８８，共１０個。全為偶數，符合（ｂ）。

Ａ＝９，９＝３＊３，即兩質數之平方相乘皆是，有３６，共１個。唯一值，不符合（ｂ）。

Ａ＝１０，１０＝２＊５，即某質數乘上另一質數之四次方皆是，有４８，８０，共２個。全為偶數，符合（ｂ）。

Ａ＝１１，無合理解。

Ａ＝１２，１２＝２＊６＝３＊４＝２＊２＊３，即某質數乘上另一質數之五次方或某質數之平方乘上另一質數之三次方或兩質數相乘再乘上另一質數之平方皆是，有６０，７２，８４，９０，９６，共５個。全為偶數，符合（ｂ）。

故Ａ之值可能為２，３，８，１０，１２，它們符合了「可知Ｐ君所知道的答案亦是二個以上，且其可能值為全奇數或全偶數」之條件。

再來討論十位數和個位數之和（令為Ｂ）之所有可能，顯而易見地，其最小為１，最大為１８，以下分別討論囉！並將其值之正因數個數於（）中表明。

Ｂ＝１：１０。唯一值，不符合（ａ）。

Ｂ＝２：１１（２），２０（６）。有唯一數１１，符合（ｃ）。

Ｂ＝３：１２（６），２１（４），３０（８）。有唯一數３０，符合（ｃ）。

Ｂ＝４：１３（２），３１（２），２２（４），４０（８）。有兩個以上之可能值，不符合（ｃ）。

Ｂ＝５：１４（４），４１（２），２３（２），３２（６），５０（６）。有兩個以上之可能值，不符合（ｃ）。

Ｂ＝６：１５（４），５１（４），２４（８），４２（８），３３（４），６０（１２）。有兩個以上之可能值，不符合（ｃ）。

Ｂ＝７：１６（５），６１（２），２５（３），５２（６），３４（４），４３（２），７０（８）。有兩個以上之可能值，不符合（ｃ）。

Ｂ＝８：１７（２），７１（２），２６（４），６２（４），３５（４），５３（２），４４（６），８０（１０）。有兩個以上之可能值，不符合（ｃ）。

Ｂ＝９：１８（６），８１（５），２７（４），７２（１０），３６（９），６３（６），４５（６），５４（８），９０（１２）。有兩個以上之可能值，不符合（ｃ）。

Ｂ＝１０：１９（２），９１（４），２８（６），８２（４），３７（２），７３（２），４６（４），６４（７），５５（４）。有兩個以上之可能值，不符合（ｃ）。

Ｂ＝１１：２９（２），９２（６），３８（４），８３（２），４７（２），７４（４），５６（８），６５（４）。有兩個以上之可能值，不符合（ｃ）。

Ｂ＝１２：３９（４），９３（４），４８（１０），８４（１２），５７（４），７５（６），６６（８）。有兩個以上之可能值，不符合（ｃ）。

Ｂ＝１３：４９（３），９４（４），５８（４），８５（４），６７（２），７６（６）。有兩個以上之可能值，不符合（ｃ）。

Ｂ＝１４：５９（２），９５（４），６８（６），８６（４），７７（４）。有唯一數５９，符合（ｃ）。

Ｂ＝１５：６９（４），９６（１２），７８（８），８７（４）。有兩個以上之可能值，不符合（ｃ）。

Ｂ＝１６：７９（２），９７（２），８８（８）。有兩個以上之可能值，不符合（ｃ）。

Ｂ＝１７：８９（２），９８（６）。有唯一數８９，符合（ｃ）。

Ｂ＝１８：９９。唯一值，不符合（ａ）。

故Ｂ之值可能為２，３，１４，１７，其唯一可能之數字為１１，３０，５９，８９，故此四個數字皆為Ｙ君可明確猜出來的答案。又耍笨的Ｐ君要知道答案，則根據前題，其所確定之值必為唯一，而１１，５９，８９之正因數個數為２；３０之正因數個數為８，因此若Ｐ君知道的值為２，亦無法猜出其值。故唯有Ｐ君知道的值是８時，根據以上邏輯推演，方能肯定其值。

故此數字為３０。

～最愛數學～