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原題
http://spaces.msn.com/pinychen/blog/cns!9A537A69F7DCF377!2059.entry
再來講解ＰＨ天秤囉。首先先要瞭解天秤每秤一次的情況只有三種，左邊較重、平衡、左邊較輕。因此欲在指定次數秤出所有情況，則每次的秤法必需提供有用的資訊才是。以下將壁球數排列為１，２，３，４，５，．．．，３９，分別為一號壁球、二號壁球、．．．、三十九號壁球，而（１，２─３，４）則表示為天秤的左邊放上一號球和二號球，天秤的右邊放上三號球和四號球，待放置好才按上啟動鍵。
http://spaces.msn.com/pinychen/blog/cns!9A537A69F7DCF377!2059.entry
再來講解ＰＨ天秤囉。首先先要瞭解天秤每秤一次的情況只有三種，左邊較重、平衡、左邊較輕。因此欲在指定次數秤出所有情況，則每次的秤法必需提供有用的資訊才是。以下將壁球數排列為１，２，３，４，５，．．．，３９，分別為一號壁球、二號壁球、．．．、三十九號壁球，而（１，２─３，４）則表示為天秤的左邊放上一號球和二號球，天秤的右邊放上三號球和四號球，待放置好才按上啟動鍵。
１．
第一次先秤（１，２，３─４，５，６）
第一次先秤（１，２，３─４，５，６）
情況一：左邊較重，所以問題球為４，５，６號。
第二次再秤（４─５）
情況一：左邊較重，所以問題球為５號。
情況二：平衡，所以問題球為６號。
情況三：左邊較輕，所以問題球為４號。
情況二：平衡，所以問題球為７，８號。
第二次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以問題球為８號。
情況二：平衡，此情況不存在，因為題目已指名有一顆較輕。
情況三：左邊較輕，所以問題球為７號。
第二次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以問題球為８號。
情況二：平衡，此情況不存在，因為題目已指名有一顆較輕。
情況三：左邊較輕，所以問題球為７號。
情況三：左邊較輕，所以問題球為１，２，３號。
第二次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以問題球為２號。
情況二：平衡，所以問題球為３號。
情況三：左邊較輕，所以問題球為１號。
第二次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以問題球為２號。
情況二：平衡，所以問題球為３號。
情況三：左邊較輕，所以問題球為１號。
綜上所有情況，可知道八顆球已知有一顆輕球的狀態下，秤兩次為已足。
２．
第一次先秤（１，２，３，４─５，６，７，８）
第一次先秤（１，２，３，４─５，６，７，８）
情況一：左邊較重，所以可能１，２，３，４球較重
或５，６，７，８球較輕。
第二次再秤（１，２，５─３，４，６）
第二次再秤（１，２，５─３，４，６）
情況一：左邊較重，所以可能１，２球較重或６球較輕。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以１球較重。
情況二：平衡，所以６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２球較重。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以１球較重。
情況二：平衡，所以６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２球較重。
情況二：平衡，所以可能７，８球較輕。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以８球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以７球較輕。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以８球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以７球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能３，４球較重或５球較輕。
第三次再秤（３─４）
情況一：左邊較重，所以３球較重。
情況二：平衡，所以５球較輕。
情況三：左邊較輕，所以４球較重。
第三次再秤（３─４）
情況一：左邊較重，所以３球較重。
情況二：平衡，所以５球較輕。
情況三：左邊較輕，所以４球較重。
情況二：平衡，所以可能９，１０，１１，１２有一球較重或較輕。
第二次再秤（１，９─１０，１１）
第二次再秤（１，９─１０，１１）
情況一：左邊較重，所以可能９球較重或１０，１１球較輕。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１１球較輕。
情況二：平衡，所以９球較重。
情況三：左邊較輕，所以１０球較輕。
情況二：平衡，所以可能１２球較輕或較重。
第三次再秤（１─１２）
情況一：左邊較重，所以１２球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以１２球較重。
第三次再秤（１─１２）
情況一：左邊較重，所以１２球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以１２球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能９球較輕或１０，１１球較重。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１０球較重。
情況二：平衡，所以９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１１球較重。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１０球較重。
情況二：平衡，所以９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１１球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１，２，３，４球較輕
或５，６，７，８球較重。
第二次再秤（１，２，５─３，４，６）
第二次再秤（１，２，５─３，４，６）
第三次再秤（３─４）
情況一：左邊較重，所以４球較輕。
情況二：平衡，所以５球較重。
情況三：左邊較輕，所以３球較輕。
情況二：平衡，所以可能７，８球較重。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以７球較重。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以８球較重。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以７球較重。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以８球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１，２球較輕或６球較重。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以２球較輕。
情況二：平衡，所以６球較重。
情況三：左邊較輕，所以１球較輕。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以２球較輕。
情況二：平衡，所以６球較重。
情況三：左邊較輕，所以１球較輕。
綜上所有情況，十二球有一顆壞球共有二十四種情況，已可分別由上述情況個別推論出，故秤三次為已足。
３．
假設Ｈ君所提供之球為Ｈ號球。
第一次先秤（１，２，３，４，５─６，７，８，９，Ｈ）
假設Ｈ君所提供之球為Ｈ號球。
第一次先秤（１，２，３，４，５─６，７，８，９，Ｈ）
情況一：左邊較重，所以可能１，２，３，４，５球較重
或６，７，８，９球較輕。
第二次再秤（１，２，３，６─４，５，１０，１１）
第二次再秤（１，２，３，６─４，５，１０，１１）
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以１球較重。
情況二：平衡，所以３球較重。
情況三：左邊較輕，所以２球較重。
情況二：平衡，所以可能７，８，９球較輕。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以８球較輕。
情況二：平衡，所以９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以７球較輕。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以８球較輕。
情況二：平衡，所以９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以７球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能４，５球較重或６球較輕。
第三次再秤（４─５）
情況一：左邊較重，所以４球較重。
情況二：平衡，所以６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以５球較重。
第三次再秤（４─５）
情況一：左邊較重，所以４球較重。
情況二：平衡，所以６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以５球較重。
情況二：平衡，所以１０，１１，１２，１３有一球較重或較輕。
第二次再秤（１，１２─１０，１１）
第二次再秤（１，１２─１０，１１）
情況一：左邊較重，所以可能１２球較重或１０，１１球較輕。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１１球較輕。
情況二：平衡，所以１２球較重。
情況三：左邊較輕，所以１０球較輕。
情況二：平衡，所以１３球較輕或較重。
第三次再秤（１─１３）
情況一：左邊較重，所以１３球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以１３球較重。
第三次再秤（１─１３）
情況一：左邊較重，所以１３球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以１３球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１２球較輕或１０，１１球較重。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１０球較重。
情況二：平衡，所以１２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１１球較重。
第三次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１０球較重。
情況二：平衡，所以１２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１１球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１，２，３，４，５球較輕
或６，７，８，９球較重。
第二次再秤（１，２，３，６─４，５，１０，１１）
第二次再秤（１，２，３，６─４，５，１０，１１）
情況一：左邊較重，所以可能６球較重或４，５球較輕。
第三次再秤（４─５）
情況一：左邊較重，所以５球較輕。
情況二：平衡，所以６球較重。
情況三：左邊較輕，所以４球較輕。
情況二：平衡，所以可能７，８，９球較重。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以７球較重。
情況二：平衡，所以９球較重。
情況三：左邊較輕，所以８球較重。
第三次再秤（７─８）
情況一：左邊較重，所以７球較重。
情況二：平衡，所以９球較重。
情況三：左邊較輕，所以８球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１，２，３球較輕。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以２球較輕。
情況二：平衡，所以３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１球較輕。
第三次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以２球較輕。
情況二：平衡，所以３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１球較輕。
綜上所有情況，十三球有一顆壞球共有二十六種情況，已可分別由上述情況個別推論出，故秤三次為已足。
４．
由前兩題，故可發現兩種情況皆可秤三次找出有問題的球並指出輕重。
ａ．已知十二球有一不知輕重的壞球可由三次秤出並指出該壞球輕重。
ｂ．已知十三球有一不知輕重的壞球可由三次秤出並指出該壞球輕重。
由前兩題，故可發現兩種情況皆可秤三次找出有問題的球並指出輕重。
ａ．已知十二球有一不知輕重的壞球可由三次秤出並指出該壞球輕重。
ｂ．已知十三球有一不知輕重的壞球可由三次秤出並指出該壞球輕重。
（ｂ需再提供一顆標準球）
第一次先秤（１～１３，１４～２６）
第二次再秤（１～５，１４～１８─６～９，１９～２２，２７，２８）
情況一：左邊較重，所以可能１～５球較重或１９～２２球較輕。
第三次再秤（１，２，３，１９─４，５，２７，２８）
第四次再秤（１─２）
情況一：左邊較重，所以１球較重。
情況二：平衡，所以３球較重。
情況三：左邊較輕，所以２球較重。
情況二：平衡，所以可能２０，２１，２２球較輕。
第四次再秤（２０－２１）
情況一：左邊較重，所以２１球較輕。
情況二：平衡，所以２２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２０球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能４，５球較重或１９球較輕。
第四次再秤（４─５）
情況一：左邊較重，所以４球較重。
情況二：平衡，所以１９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以５球較重。
情況二：平衡，所以可能１０～１３球較重或２３～２６球較輕。
第三次再秤（１０，１１，２４─１２，１３，２３）
情況一：左邊較重，所以可能１０，１１球較重
或２３球較輕。
第四次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１０球較重。
情況二：平衡，所以２３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１１球較重。
第四次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１０球較重。
情況二：平衡，所以２３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１１球較重。
情況二：平衡，所以可能２５，２６球較輕。
第四次再秤（２５─２６）
情況一：左邊較重，所以２６球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以２５球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能１２，１３球較重
或２４球較輕。
第四次再秤（１２─１３）
情況一：左邊較重，所以１２球較重。
情況二：平衡，所以２４球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１３球較重。
第四次再秤（１２─１３）
情況一：左邊較重，所以１２球較重。
情況二：平衡，所以２４球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１３球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能６～９球較重或１４～１８球較輕。
第三次再秤（６，７，１４─８，９，１５）
第四次再秤（６─７）
情況一：左邊較重，所以６球較重。
情況二：平衡，所以１５球較輕。
情況三：左邊較輕，所以７球較重。
情況二：平衡，所以可能１６，１７，１８球較輕。
第四次再秤（１６─１７）
情況一：左邊較重，所以１７球較輕。
情況二：平衡，所以１８球較輕。
情況三：左邊較輕，所以１６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能８，９球較重或１４球較輕。
第四次再秤（８─９）
情況一：左邊較重，所以８球較重。
情況二：平衡，所以１４球較輕。
情況三：左邊較輕，所以９球較重。
情況二：平衡，所以２７～３９有一球較輕或較重。
第二次再秤（２７～３１─１，３２～３５）
第二次再秤（２７～３１─１，３２～３５）
情況一：左邊較重，所以可能２７～３１球較重
或３２～３５球較輕。
第三次再秤（２７，２８，３３─２９，３０，３２）
第三次再秤（２７，２８，３３─２９，３０，３２）
情況一：左邊較重，所以可能２７，２８球較重
或３２球較輕。
第四次再秤（２７─２８）
情況一：左邊較重，所以２７球較重。
情況二：平衡，所以３２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２８球較重。
第四次再秤（２７─２８）
情況一：左邊較重，所以２７球較重。
情況二：平衡，所以３２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２８球較重。
情況二：平衡，所以可能３１球較重或３４，３５球較輕。
第四次再秤（３４－３５）
情況一：左邊較重，所以３５球較輕。
情況二：平衡，所以３１球較重。
情況三：左邊較輕，所以３４球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能２９，３０球較重
或３３球較輕。
第四次再秤（２９─３０）
情況一：左邊較重，所以２９球較重。
情況二：平衡，所以３３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３０球較重。
第四次再秤（２９─３０）
情況一：左邊較重，所以２９球較重。
情況二：平衡，所以３３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３０球較重。
情況二：平衡，所以３６～３９有一球較輕或較重。
第三次再秤（３６，３７─１，３９）
情況一：左邊較重，所以可能３６，３７球較重
或３８球較輕。
第四次再秤（３６─３７）
情況一：左邊較重，所以３６球較重。
情況二：平衡，所以３８球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３７球較重。
第四次再秤（３６─３７）
情況一：左邊較重，所以３６球較重。
情況二：平衡，所以３８球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３７球較重。
情況二：平衡，所以３９球較輕或較重。
第四次再秤（１─３９）
情況一：左邊較重，所以３９球較輕。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以３９球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能３６，３７球較輕
或３８球較重。
第四次再秤（３６─３７）
情況一：左邊較重，所以３７球較輕。
情況二：平衡，所以３８球較重。
情況三：左邊較輕，所以３６球較輕。
第四次再秤（３６─３７）
情況一：左邊較重，所以３７球較輕。
情況二：平衡，所以３８球較重。
情況三：左邊較輕，所以３６球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能２７～３１球較輕
或３２～３５球較重。
第三次再秤（２７，３２，３３─２８，３４，３５）
第三次再秤（２７，３２，３３─２８，３４，３５）
情況一：左邊較重，所以可能３２，３３球較重
或２８球較輕。
第四次再秤（３２─３３）
情況一：左邊較重，所以３２球較重。
情況二：平衡，所以２８球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３３球較重。
第四次再秤（３２─３３）
情況一：左邊較重，所以３２球較重。
情況二：平衡，所以２８球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３３球較重。
情況二：平衡，所以可能２９，３０，３１球較輕。
第四次再秤（２９─３０）
情況一：左邊較重，所以３０球較輕。
情況二：平衡，所以３１球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２９球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能３４，３５球較重
或２７球較輕。
第四次再秤（３４─３５）
情況一：左邊較重，所以３４球較重。
情況二：平衡，所以２７球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３５球較重。
第四次再秤（３４─３５）
情況一：左邊較重，所以３４球較重。
情況二：平衡，所以２７球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３５球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１～１３球較輕或１４～２６球較重。
第二次再秤（１～５，１４～１８─６～９，１９～２２，２７，２８）
第二次再秤（１～５，１４～１８─６～９，１９～２２，２７，２８）
情況一：左邊較重，所以可能１４～１８球較重或６～９球較輕。
第三次再秤（６，７，１５─８，９，１４）
情況一：左邊較重，所以可能１５球較重或８，９球較輕。
第四次再秤（８─９）
情況一：左邊較重，所以９球較輕。
情況二：平衡，所以１５球較重。
情況三：左邊較輕，所以８球較輕。
情況二：平衡，所以可能１６，１７，１８球較重。
第四次再秤（１６－１７）
情況一：左邊較重，所以１６球較重。
情況二：平衡，所以１８球較重。
情況三：左邊較輕，所以１７球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１４球較重或６，７球較輕。
第四次再秤（６─７）
情況一：左邊較重，所以７球較輕。
情況二：平衡，所以１４球較重。
情況三：左邊較輕，所以６球較輕。
情況二：平衡，所以可能１０～１３球較輕或２３～２６球較重。
第三次再秤（１０，１１，２４─１２，１３，２３）
情況一：左邊較重，所以可能１２，１３球較輕
或２４球較重。
第四次再秤（１２─１３）
情況一：左邊較重，所以１３球較輕。
情況二：平衡，所以２４球較重。
情況三：左邊較輕，所以１２球較輕。
第四次再秤（１２─１３）
情況一：左邊較重，所以１３球較輕。
情況二：平衡，所以２４球較重。
情況三：左邊較輕，所以１２球較輕。
情況二：平衡，所以可能２５，２６球較重。
第四次再秤（２５─２６）
情況一：左邊較重，所以２５球較重。
情況二：平衡，矛盾。
情況三：左邊較輕，所以２６球較重。
情況三：左邊較輕，所以可能１０，１１球較輕
或２３球較重。
第四次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１１球較輕。
情況二：平衡，所以２３球較重。
情況三：左邊較輕，所以１０球較輕。
第四次再秤（１０─１１）
情況一：左邊較重，所以１１球較輕。
情況二：平衡，所以２３球較重。
情況三：左邊較輕，所以１０球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能１～５球較輕或１９～２２球較重。
第三次再秤（１，２１，２２─２，１９，２０）
情況一：左邊較重，所以可能２１，２２球較重或２球較輕。
第四次再秤（２１─２２）
情況一：左邊較重，所以２１球較重。
情況二：平衡，所以２球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２２球較重。
情況二：平衡，所以可能３，４，５球較輕。
第四次再秤（３─４）
情況一：左邊較重，所以４球較輕。
情況二：平衡，所以５球較輕。
情況三：左邊較輕，所以３球較輕。
情況三：左邊較輕，所以可能１９，２０球較重或１球較輕。
第四次再秤（１９─２０）
情況一：左邊較重，所以１９球較重。
情況二：平衡，所以１球較輕。
情況三：左邊較輕，所以２０球較重。
綜上所有情況，三十九球有一顆壞球共有七十八種情況，已可分別由上述情況個別推論出，故秤四次為已足。
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