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原題
假如題意為真，若Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ有大於一之公因數（令其為Ｔ）
則Ａ＝Ｔａ，Ｂ＝Ｔｂ，Ｃ＝Ｔｃ，Ｄ＝Ｔｄ
ＬＣＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝Ｔａ＋Ｔｂ＋Ｔｃ＋Ｔｄ＝Ｔ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）
ＬＣＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝ＬＣＭ（Ｔａ，Ｔｂ，Ｔｃ，Ｔｄ）＝Ｔ＊ＬＣＭ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）
故ＬＣＭ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＝Ｔ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）
則Ａ＝Ｔａ，Ｂ＝Ｔｂ，Ｃ＝Ｔｃ，Ｄ＝Ｔｄ
ＬＣＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝Ｔａ＋Ｔｂ＋Ｔｃ＋Ｔｄ＝Ｔ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）
ＬＣＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝ＬＣＭ（Ｔａ，Ｔｂ，Ｔｃ，Ｔｄ）＝Ｔ＊ＬＣＭ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）
故ＬＣＭ（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＝Ｔ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）
因此，不失一般性，可令Ａ＜＝Ｂ＜＝Ｃ＜＝Ｄ，且其最大公因數為一
以下僅需證明ＬＣＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ時，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ不可能同時不被３或５整除
故可令ＬＣＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝ＫＤ（Ｋ為２或３或４），
且假設存在一組解使得四數皆不被３或５整除
當Ｋ＝４，ＬＣＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝４Ｄ，
由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝４Ｄ，可知Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝Ｄ，
但此時ＬＣＭ值應為Ｄ，與假設不合
由Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝４Ｄ，可知Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝Ｄ，
但此時ＬＣＭ值應為Ｄ，與假設不合
當Ｋ＝３，ＬＣＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝３Ｄ，
可知此時四數必有一數可被３整除，題意為真
可知此時四數必有一數可被３整除，題意為真
故只需考慮Ｋ為２時是否假設成立即可，此時Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝２Ｄ，即Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝Ｄ
即ＬＣＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝２Ａ＋２Ｂ＋２Ｃ＝ＭＣ（Ｍ為３或４或５或６）
當Ｍ＝３、５、６時，可知此時四數必有一數可被３或５整除，題意為真
故只需考慮Ｍ為４時是否題意成立即可，此時Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝Ｄ，且２Ａ＋２Ｂ＋２Ｃ＝４Ｃ，即Ａ＋Ｂ＝Ｃ
即ＬＣＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝Ａ＋Ｂ＋（Ａ＋Ｂ）＋〔Ａ＋Ｂ＋（Ａ＋Ｂ）〕＝４Ａ＋４Ｂ＝ＨＢ（Ｈ為５或６或７或８）
即ＬＣＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝Ａ＋Ｂ＋（Ａ＋Ｂ）＋〔Ａ＋Ｂ＋（Ａ＋Ｂ）〕＝４Ａ＋４Ｂ＝ＨＢ（Ｈ為５或６或７或８）
當Ｈ＝５、６、８時，可知此時四數必有一數可被３或５整除，題意為真
故只需考慮Ｈ為７時是否題意成立即可，此時Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝Ｄ，且Ａ＋Ｂ＝Ｃ，且４Ａ＋４Ｂ＝７Ｂ，即４Ａ＝３Ｂ
若４Ａ＝３Ｂ，則Ａ必可被３整除，與假設不合，故當ＬＣＭ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ時，並無法找到任何一組解，使得四數皆不被３或５整除，故原假設失真，即題意為真
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